Türkçe English Ders İçerik Rapor
Ders Öğretim Planı
ELİPTİK EĞRİLER TEORİSİ ve UYGULAMALARI I
1 Dersin Adı: ELİPTİK EĞRİLER TEORİSİ ve UYGULAMALARI I
2 Dersin Kodu: MAT6111
3 Dersin Türü: Seçmeli
4 Dersin Seviyesi: Doktora
5 Dersin Verildiği Yıl: 1
6 Dersin Verildiği Yarıyıl: 1
7 Dersin AKTS Kredisi: 5
8 Teorik Ders Saati (saat/hafta): 3
9 Uygulama Ders Saati (saat/hafta): 0
10 Laboratuar Ders Saati (saat/hafta): 0
11 Dersin Önkoşulu yok
12 Ders İçin Önerilen Diğer Hususlar Yok
13 Dersin Dili: Türkçe
14 Dersin Veriliş Şekli Yüz yüze
15 Dersin Koordinatörü: Prof. Dr. İSMAİL NACİ CANGÜL
16 Dersi Veren Diğer Öğretim Elemanları: Prof. Dr. Osman Bizim
17 Ders Koordinatörünün İletişim Bilgileri: Uludağ Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü, Görükle Bursa-TÜRKİYE 0 224 294 17 57 / obizim@uludag.edu.tr
18 Dersin Web Adresi:
19 Dersin Amacı Eliptik eğriler, sayılar teorisi, grup ve cisim teorisi, kriptoloji gibi matematiğin önemli teorileri arasındaki ilişkilerin ortaya konulduğu bir derstir. Dersin amacı, öğrencinin tüm bu alanlar arasında bağlantılar kurarak eliptik eğriler teorisine yeni kavramlar ve sonuçlar kazandırmasını sağlamak ve kriptoloji, çarpanlaştırma ve asallık testleri gibi teorinin uygulama alanlarına hazırlık yapmaktır. Böylece öğrencinin lisansüstü özgün çalışma yapabileceği alt yapının oluşturabilmesi hedeflenmektedir.
20 Ders Öğrenme Kazanımları
1 Eliptik eğriler üzerindeki noktaların grup yapısı, birleşme özelliğinin ispatını öğrenir.;
2 Bir eliptik eğrinin büküm noktaları ve bölüm polinomları kavramları, Weil eşleştirmeleri ve Tate-Licthenbaum eşleştirmeleri öğrenir. ;
3 Sonlu cisimler üzerinde tanımlı eliptik eğriler, bu eğriler üzerindeki noktaların sayısı, Hasse teoremi, Frobenius endomorfizmleri, Schoof Algoritması.;
4 Ayrık logaritma problemi, ayrık logaritma da genel hamleler, bebek ve dev adım yöntemleri, Pollard yöntemleri, Pohling-Hellman yöntemini öğrenir.;
5 MOV hamle, Frey-Rück hamlesi ve diğer hamlelerini kullanır.;
6 Q üzerinde tanımlı eliptik eğriler, büküm grupları ve Lutz-Nagell teoremini ve Fermat’ın azalma metodu ve Mordell- Weil teoremini öğrenir.;
7 Cantor algoritması, Zeta fonksiyonları, Fermat’ın son teoremi ve bu teoremin Wiles tarafından verilen ispatını öğrenir. ;
21 Dersin İçeriği
Hafta Teori Uygulama
1 Eliptik eğriler ile ilgili temel kavramlar, Eliptik eğriler üzerindeki noktaların grup yapısı, birleşme özelliğinin ispatı.
2 Diğer eliptik eğri denklemleri, Legendre denklemi, kübik ve quartik denklemler. Bir eliptik eğrinin j-invaryantı, iki eliptik eğrinin izomorfizmi ve endomorfizmi.
3 Bir eliptik eğrinin büküm noktaları ve bölüm polinomları kavramları, Weil eşleştirmeleri ve Tate-Licthenbaum eşleştirmeleri.
4 Sonlu cisimler üzerinde tanımlı eliptik eğriler, bu eğriler üzerindeki noktaların sayısı, Hasse teoremi, Frobenius endomorfizmleri, Schoof Algoritması.
5 Sonlu cisimler üzerinde tanımlı bazı eliptik eğri aileleri, singüler ve süper singüler eğriler.
6 Ayrık logaritma problemi, ayrık logaritma da genel hamleler, bebek ve dev adım yöntemleri, Pollard yöntemleri, Pohling-Hellman yöntemi.
7 MOV hamle, Frey-Rück hamlesi ve diğer hamleler.
8 Eliptik eğri kriptolojisinde temel kavramlar, Diffie-Hellman anahtar değişimi, Massey-Omura kriptosu.
9 ElGamal kriptosu ve dijital imzaları, dijital imza algoritması.
10 Q üzerinde tanımlı eliptik eğriler, büküm grupları ve Lutz-Nagell teoremi, Fermat’ın azalma metodu ve Mordell- Weil teoremi
11 2-Selmer grupları, Shafarevich-Tate grupları, aşikar olmayan Shafarevich-Tate grupları, Galois kohomolojisi.
12 C üzerinde tanımlı eliptik eğriler, çifte periyodik fonksiyonlar, tor ve eliptik eğriler, periyotların hesaplanması, aritmetik ve geometrik ortalamalar.
13 Bölüm polinomları ve torsiyon alt gruplar, Doud yöntemi, kompleks çarpım ve nümerik örnekler, j-invaryantın tamlığı.
14 Hipereliptik eğriler, Cantor algoritması, Zeta fonksiyonları, Fermat’ın son teoremi ve bu teoremin Wiles tarafından verilen ispatına bir bakış.
22 Ders Kitabı, Referanslar ve/veya Diğer Kaynaklar: [1] Rational Points on Elliptic Curves, J. H. Silverman ve J. Tate, [2]The Arithmetic of Elliptic Curves, J. H. Silverman, [3]Elliptic Curves, L. C. Washington. [4] Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, N. Koblitz.
23 Değerlendirme
YARIYIL İÇİ ÇALIŞMALARI SAYISI KATKI YÜZDESİ
Ara Sınav 0 0
Kısa Sınav 0 0
Ödev 0 0
Yıl sonu Sınavı 1 100
Toplam 1 100
Yıl içi çalışmalarının Başarıya Oranı 0
Finalin BAşarıya Oranı 100
Toplam 100
Açıklama
24 AKTS / İŞ YÜKÜ TABLOSU
Etkinlik SAYISI Süresi [Saat] Toplam İş Yükü [Saat]
Teorik Dersler 14 3 42
Uygulamalı Dersler 0 0 0
Sınıf Dışı Ders Çalışma Süresi (Ön çalışma, pekiştirme) 14 5 70
Ödevler 0 0 0
Projeler 0 0 0
Arazi Çalışmaları 0 0 0
Arasınavlar 0 0 0
Diğer 14 5 70
Yarıyıl Sonu Sınavları 1 13 13
Toplam İş Yükü 195
Toplam İş Yükü / 30 saat 6,5
Dersin AKTS Kredisi 6,5
25 PROGRAM YETERLİLİKLERİ İLE DERS ÖĞRENİN KAZANIMLARI İLİŞKİSİ TABLOSU
PY1 PY2 PY3 PY4 PY5 PY6 PY7 PY8 PY9 PY10
OK1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
OK2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
OK3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
OK4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
OK5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
OK6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
OK7 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
ÖK: Öğrenme Kazanımları PY: Program yeterlilikleri
Katkı Düzeyi: 1 Çok Düşük 2 Düşük 3 Orta 4 Yüksek 5 Çok Yüksek
Tasarım & Kodlama
Bilgi İşlem Daire Başkanlığı © 2015
otomasyon@uludag.edu.tr